МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Національний університет “Львівська політехніка” кафедра САПР З В І Т до лабораторної роботи №2 з курсу: “Геометричне моделювання у конструюванні інженерних об’єктів і систем” на тему: “Афінні перетворення та анімація засобами мови TURBO PASCAL 7.0.”  Львів – 2005 МЕТА РОБОТИ Мета роботи – ознайомитись із законами руху геометричних об’єктів на прощині та у просторі. Оволодіти математичною мовою опису динаміки та візуалізації на основі закономірностей геометричних перетворень. Набути практичних навиків розробки графічних процедур у середовищі Turbo Pascal в графічному режимі. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА СПІВВІДНОШЕННЯ Геометричне перетворення – це відображення p'= f ( p) точки p ∈ Rn n-мірного простору образу в точку p'∈ Rn' n'-мірного простору перетворення (де Rn - евклідів простір розмірності n. Геометричне перетворення поділяються на нелінійні (наприклад, відображення у кривому дзеркалі) та лінійні. Лінійне перетворення точки описується векторним рівнянням: p'= pA + B з матрицями перетворення A∈ Rn×n' та B ∈ R1×n' , що не залежать від вектора p. У залежності від розмірності просторів n, n' та властивостей матриці А лінійні перетворення поділяються на невироджені (афінні) та вироджені (проективні). Властивості афінного перетворення: n = n',rang(A) = n (де rang(A) – ранг матриці А, рівний числу її лінійно незалежних строк чи стовпців), що означає квадратність та невиродженість матриці А. Існування зворотної матриці А-1 дозволяє по точці p' відновити точку образу p: p = ( p'−B)A−1 При проективному перетворенні m<n та не існує оберненої матриці А-1, тому однозначне відновлення образу за прообразом неможливе через втрату інформації про одну чи декілька координат образу.
Рис. 1 Геометричні перетворення: афінне ( R3→ R3 ) та проективне ( R3→ R2 ) АФІННІ ПЕРЕТВОРЕННЯ Афінні перетворення (від англ. affinity – подібність) – точкові взаємно однозначні відображення площини (простору) на себе, при яких прямі переходять у прямі. Якщо на площині задана декартова система координат, то кожне афінне перетворення цієї площини може бути визначене за допомогою так званого невирожденого лінійного перетворення координат х та у точок цієї площини. Загальний вид формул двовимірних афінних перетворень: х' = а11х + а12у + а13, y' = а21x + а22y + а23 з додатковою вимогою
де x,y – координати початкового об’єкту, х', y' – координати перетвореного об’єкта. Коефіцієнти перетворень aij зберігають у виді матриці, розширеної до квадратної:
, при цьому дуже просто обчислюються коефіцієнти довільного складного перетворення, якщо відомі коефіцієнти перетворень, його складових. Для цього просто перемножують відповідні матриці коефіцієнтів. Аналогічно, кожне афінний простір може бути визначений за допомогою невирождених лінійних перетворень координат точок простору. Сукупність усіх афінних перетворень площини (простору) на себе утворить групу афінних перетворень. Це означає, зокрема , що послідовне проведення двох афінни перетворень еквівалентно деякому одному афіннму перетворенню. Прикладами афінних перетворень можуть бути ортогональне перетворення (це перетворення є переміщення чи площини чи простору, переміщення із дзеркальним відображенням); перетворення подоби; рівномірне „стиснення”.
Рис.2 Приклад афінного перетворення Рівномірне „стиснення” з коефіцієнтом k площини π до розташованого на ній прямої а– перетворення, при якому точки а залишаються на місці, а кожна точка М, що не лежить на а площини π зміщається по променю, що проходить через М перпендикулярно а, у таку точку M', що відношення відстаней від М и М 'до а дорівнює k; аналогічно визначається рівномірне "стиснення" простору до площини. Всяке афінне перетворення площини можна одержати, виконавши деяке ортогональне перетворення і послідовне „стиснення” до деяких двох перпендикулярним прямим. Кожне афінне перетворення простору можна здійснити за допомогою деякого ортогонального перетворення і послідовни...